Enumerating bases of self-dual matroids

We define involutively self-dual matroids and prove a relationship between the bases and selfdual bases of these matroids. We use this relationship to prove an enumeration formula for the higher dimensional spanning trees in a class of cell complexes. This gives a new proof of Tutte’s theorem that the number of spanning trees of a central reflex is a perfect square and solves a problem posed by Kalai about higher dimensional spanning trees in simplicial complexes. We also give a weighted version of the latter result. The critical group of a graph is a finite abelian group whose order is the number of spanning trees of the graph. We prove that the critical group of a central reflex is a direct sum of two copies of an abelian group. We conclude with an analogous result in Kalai’s setting. Résumé. Nous définissons la notion de matroide auto-dual par involution et nous démontrons une relation entre les bases et les bases auto-duales de ces matroides. Nous utilisons le relation pour démontrer une formule d’énumération pour les arbres couvrants de dimension supérieure dans une classe de complexes de cellules. Ceci mène à une nouvelle démonstration d’un théorème de Tutte – le nombre d’arbres couvrants d’un central reflex est un carré parfait – et résoud un problème posé par Kalai concernant les arbres couvrants de dimension supérieure à 1 de complexes simpliciaux. Nous donnons également une version pondérée de ce dernier résultat. Le groupe critique d’un graphe est un groupe abélien fini dont l’ordre est le nombre d’arbres couvrants du graphe. Nous prouvons que le groupe critique d’un central reflex est la somme directe de deux copies d’un groupe abéliens. Nous concluons avec un résultat analogue dans le cadre posé par Kalai.